在面对检察院不立案或不予起诉的情况时，当事人可以采取以下法律途径进行申诉：
1. 法律途径
1.1 内部申诉
当事人可以首先向作出不立案或不予起诉决定的检察院提出申诉。通常，申诉书应详细说明申诉理由，并附上相关证据。
1.2 向上一级检察院申诉
如果当事人对原检察院的答复不满意，可以向上一级检察院提出申诉。上一级检察院应当对申诉进行审查，并在规定时间内作出答复。
1.3 向法院起诉
当事人还可以直接向人民法院提起行政诉讼，请求法院审查原检察院的不立案或不予起诉决定。
1.4 向纪检监察机关投诉
对于涉嫌滥用职权、徇私舞弊等违法违纪行为的，当事人可以向纪检监察机关投诉。
2. 实际案例分析
以下是一些实际案例，用以说明上述法律途径的应用：
2.1 案例一：不立案申诉
某当事人因涉嫌诈骗罪被当地公安局立案侦查，后因证据不足，当地检察院作出不立案决定。当事人不服，向上一级检察院提出申诉。上一级检察院审查后，认为原检察院认定事实不清、证据不足，遂指令原检察院重新侦查。最终，原检察院以当事人涉嫌诈骗罪成立，向法院提起公诉。
2.2 案例二：不予起诉申诉
某当事人因涉嫌职务侵占罪被当地公安局立案侦查，后因当事人主动退还赃款，当地检察院作出不予起诉决定。当事人不服，向上一级检察院提出申诉。上一级检察院审查后，认为原检察院认定事实清楚、证据确凿，且当事人主动退还赃款，符合不予起诉条件，遂维持原决定。
2.3 案例三：向法院起诉
某当事人因涉嫌故意伤害罪被当地公安局立案侦查，后因证据不足，当地检察院作出不立案决定。当事人不服，向人民法院提起行政诉讼。法院审查后，认为原检察院认定事实不清、证据不足，遂指令原检察院重新侦查。最终，原检察院以当事人涉嫌故意伤害罪成立，向法院提起公诉。
3. 总结
在遇到检察院不立案或不予起诉的情况时，当事人可依法采取多种途径进行申诉。在实际操作中，当事人应根据自身情况选择合适的方式，并准备好充分的相关证据，以维护自身合法权益。